Subsets with small sums in Abelian groups Y. O. HAMIDOUNE Soient A et B deux parties finies d'un groupe G. On étudie l'égalité | A+B | = | A | + | B | -1. Nous généralisons plusieurs résultats dont le théorème de la paire critique de Vosper. Un de nos résultats contient une borne inférieure pour l'image d'une forme diagonale définie sur un corps fini F, qui généralise des une borne inférieure pour l'image d'une forme diagonale définie sur un corps fini F engendré par les puissances k-ièmes, qui généralise des résultats de Cauchy , Chowla-Mann-Straus et Tietavainen. Notre résultat implique que tout élément de F est somme de [k/2]+1 puissances k-ièmes, si 2k |F|+1. Nous obtenons une nouvelle charactérisation des graphes de Cay­ ley abéliens où tout séparateur minimal est formé par les voisins extérieurs ou intérieurs d'un sommet. Les résultats que nous obtenons donnent une formule pour les frag­ ments. On a donc une détermination imlicite des séparateurs mini­ maux. Let G be a group containing two finite subsets A and B. We study the equality | A+B | = | A | + | B | -1.. We generalize several results in­ cluding Vosper's critical pair Theorem. One of our results contains a lower bound on the range of a diagonal form over a finite field F generated by the kth powers. Our result generalizes results of Cauchy , Chowla-Mann-Straus and Tietavainen. It implies in particular that every element of F which is a sum of [k/2]+1 k th powers, unless 2k=|F|+1. We apply also our methods to obtain a new characterization for abelian Cayley graphs where each minimum cutset originates or ends in a vertex. The additive problem we solve is equivalent to the evaluation of all fragments of an abelian Cayley graphs. In particular, we have a implicit determination of the minimum cuts.